În Figura 2 este reprezentat un dreptunghi ABCD cu AB = 8radical 3 cm și AD = 8cm . Pe segmentul BD se consideră punctele E și F astfel încât m(∢DAE) = m(∢EAF ) = m(∢FAB) .
a) Arătați că perimetrul dreptunghiului ABCD este egal cu 16( rad 3 +1)cm .
b) Demonstrați că punctele A, F și C sunt coliniare.
c) Știind că FM || AB , unde M apartine ( AD) și N este punctul de intersecție a dreptelor FM și AE , demonstrați că dreptele DN și AC sunt perpendiculare.
a)P=AB+BC+DC+AD=8+8+8√3+8√3=16+16√3=16(√3+1) cm b)triunghiul ADB; m(∡A)=90° si cu teorema lui pitagora se calculeaza BD. AD²+AB²=BD²=>BD=16 cm triughiul ADB; sin ∡B=AD/DB=1/2=>m(∡DBA)=30°=>m(∡ADB)=60° m(∢DAE) = m(∢EAF ) = m(∢FAB)=m(∡DAB)/3=30° =>m(∡DAF)=60° m(∡ADF)=60° =>triunghiul DAF=echilateral=>m(∡DFA)=60° m(∡AFB)=180°-30°-30°=120°=m(DFC)(unghiuri opuse la varf) m(∡AFC)=m(AFD)+m(∡DFC)=60°+120°=180°=> A, F, C-coliniare c)DF=FB=DB/2=8 cm FM║AB=>(teorema lui Thales)DM/MA=DF/FB=>DM/MA=8/8=1=> DM=MA=DA/2=4 cm=>MF=linie mijlocie=>MF║AB AB⊥AD MF║AB =>MF⊥AD=>MF=inaltime in triunghiul ADF AE-bisectoare triunghiul ADF-echilateral =>AE=inaltime in tr ADF MF∩AE={N}=>N=ortocentrul triunghiului construim DP⊥AF =>N∈DP=>DN⊥AF AF∈AC =>DN⊥AC
in tr. ABF; m(BAF) = m(ABF) = 30 => tr. ABF este isoscel cu baza AB => AF = FB
fie FP perpendicular pe AB, P apartine AB => AP= PB = 4[tex] \sqrt{3} [/tex]
tr. BFP asemenea cu tr. BDA ( conform T. fundamentale a asemanarii) => PB/AB=BF/BD=PF/AD=1/2 PF/BD=1/2 => BD=2FB => DF=FB
tr. ABD congruent cu tr. DCB ( DC= AB, BC=AD, m(C)=m(A) )
AF= FB = DF ABD tr. dreptunghic
=> AF mediana
FB=DF ( in tr. CDB) => si FC= DF=FB
AF=FC, F apartine AC => cele 3 puncte sunt coliniare
c) DF=AF, m(FAD)= 60 de grade => tr. AFD este echilateral FM ll AB AB perpendicular pe AD
=> FM perpendicular pe AD
m(FAE)=m(EAD) => AE este bisectoare in tr. ech. ADF => AE este si inaltime si mediana AE intersectat cu FM = N => N este punctul de greutate al triunghiului => DN perpendicular pe AF
Vă mulțumim că ați accesat site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile furnizate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de asistență suplimentară, nu ezitați să ne contactați. Vă așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați la favorite!
